函数的值域

函数的值域值域的基本概念数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

函数的值域值域（Range） 是指函数所有可能的函数值组成的集合，通常用 R(f)R(f)R(f) 或 RRR 表示。

对于函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，值域就是所有可能的 yyy 值的集合。

求函数值域的方法1. 直接法（观察法）对于简单的函数，可以通过观察函数的性质直接得出值域。

例1：求函数 f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2（x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R）的值域。

解：因为 x2≥0x^2 \geq 0x2≥0 对所有实数 xxx 成立，且当 xxx 取遍所有实数时，x2x^2x2 可以取到所有非负实数。

因此，值域为 [0,+∞)[0, +\infty)[0,+∞)。

2. 配方法对于二次函数，通过配方可以找到函数的最值，从而确定值域。

例2：求函数 f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5f(x)=x2−4x+5（x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R）的值域。

解：将函数配方： f(x)=x2−4x+5=(x−2)2+1f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1f(x)=x2−4x+5=(x−2)2+1

因为 (x−2)2≥0(x-2)^2 \geq 0(x−2)2≥0，所以 f(x)=(x−2)2+1≥1f(x) = (x-2)^2 + 1 \geq 1f(x)=(x−2)2+1≥1。

当 x=2x = 2x=2 时，f(x)f(x)f(x) 取得最小值 1。

因此，值域为 [1,+∞)[1, +\infty)[1,+∞)。

3. 换元法（反函数法）通过设 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，解出 x=g(y)x = g(y)x=g(y)，然后根据 xxx 的定义域确定 yyy 的范围。

例3：求函数 f(x)=x+1x−2f(x) = \frac{x+1}{x-2}f(x)=x−2x+1​（x≠2x \neq 2x=2）的值域。

解：设 y=x+1x−2y = \frac{x+1}{x-2}y=x−2x+1​，解关于 xxx 的方程：

y(x−2)=x+1y(x-2) = x+1y(x−2)=x+1 yx−2y=x+1yx - 2y = x + 1yx−2y=x+1 yx−x=2y+1yx - x = 2y + 1yx−x=2y+1 x(y−1)=2y+1x(y-1) = 2y + 1x(y−1)=2y+1

当 y≠1y \neq 1y=1 时，x=2y+1y−1x = \frac{2y+1}{y-1}x=y−12y+1​。

由于原函数的定义域要求 x≠2x \neq 2x=2，所以： 2y+1y−1≠2\frac{2y+1}{y-1} \neq 2y−12y+1​=2 2y+1≠2(y−1)2y + 1 \neq 2(y-1)2y+1=2(y−1) 2y+1≠2y−22y + 1 \neq 2y - 22y+1=2y−2 1≠−21 \neq -21=−2

这个不等式恒成立，所以 yyy 可以取除 1 以外的所有实数。

因此，值域为 (−∞,1)∪(1,+∞)(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)(−∞,1)∪(1,+∞)。

4. 单调性法利用函数的单调性确定函数在给定区间上的最值，从而求出值域。

例4：求函数 f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1f(x)=2x−1（x∈[1,3]x \in [1, 3]x∈[1,3]）的值域。

解：函数 f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1f(x)=2x−1 是递增函数。

在区间 [1,3][1, 3][1,3] 上：

当 x=1x = 1x=1 时，f(1)=2×1−1=1f(1) = 2 \times 1 - 1 = 1f(1)=2×1−1=1当 x=3x = 3x=3 时，f(3)=2×3−1=5f(3) = 2 \times 3 - 1 = 5f(3)=2×3−1=5因此，值域为 [1,5][1, 5][1,5]。

5. 图像法通过观察函数图像确定函数值的范围。

例5：求函数 f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4-x^2}f(x)=4−x2​ 的值域。

解：首先确定定义域：4−x2≥04 - x^2 \geq 04−x2≥0，即 x2≤4x^2 \leq 4x2≤4，所以 x∈[−2,2]x \in [-2, 2]x∈[−2,2]。

因为 0≤4−x2≤40 \leq 4 - x^2 \leq 40≤4−x2≤4（当 x∈[−2,2]x \in [-2, 2]x∈[−2,2] 时），所以： 0≤4−x2≤20 \leq \sqrt{4-x^2} \leq 20≤4−x2​≤2

当 x=±2x = \pm 2x=±2 时，f(x)=0f(x) = 0f(x)=0当 x=0x = 0x=0 时，f(x)=2f(x) = 2f(x)=2因此，值域为 [0,2][0, 2][0,2]。

常见函数的值域函数类型一般形式值域一次函数f(x)=ax+bf(x) = ax + bf(x)=ax+b（a≠0a \neq 0a=0）R\mathbb{R}R二次函数f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c（a>0a > 0a>0）[4ac−b24a,+∞)[\frac{4ac-b^2}{4a}, +\infty)[4a4ac−b2​,+∞)二次函数f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c（a<0a < 0a<0）(−∞,4ac−b24a](-\infty, \frac{4ac-b^2}{4a}](−∞,4a4ac−b2​]反比例函数f(x)=kxf(x) = \frac{k}{x}f(x)=xk​（k≠0k \neq 0k=0）(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)(−∞,0)∪(0,+∞)指数函数f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax（a>1a > 1a>1）(0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞)对数函数f(x)=log⁡axf(x) = \log_a xf(x)=loga​x（a>1a > 1a>1）R\mathbb{R}R练习题练习 1某商品的销售量 QQQ（件）与价格 PPP（元）之间存在函数关系 Q=200−10PQ = 200 - 10PQ=200−10P，其中价格 PPP 的取值范围是 [5,15][5, 15][5,15] 元。

求该函数的定义域和值域当价格为 8 元时，销售量是多少？若要使销售量不少于 100 件，价格应控制在什么范围内？参考答案 (2 个标签)函数值域 应用题解题思路： 这是一道应用题，需要结合实际意义理解函数的定义域和值域，并进行相关计算。

详细步骤：

定义域和值域：

定义域已给出：P∈[5,15]P \in [5, 15]P∈[5,15]当 P=5P = 5P=5 时，Q=200−10×5=150Q = 200 - 10 \times 5 = 150Q=200−10×5=150当 P=15P = 15P=15 时，Q=200−10×15=50Q = 200 - 10 \times 15 = 50Q=200−10×15=50因为函数 Q=200−10PQ = 200 - 10PQ=200−10P 在定义域上单调递减，所以值域为 [50,150][50, 150][50,150]当价格为 8 元时的销售量： Q=200−10×8=200−80=120Q = 200 - 10 \times 8 = 200 - 80 = 120Q=200−10×8=200−80=120（件）

销售量不少于 100 件的价格范围： 需要求解不等式：200−10P≥100200 - 10P \geq 100200−10P≥100 200−100≥10P200 - 100 \geq 10P200−100≥10P 100≥10P100 \geq 10P100≥10P P≤10P \leq 10P≤10

结合原定义域 [5,15][5, 15][5,15]，得到价格应控制在 [5,10][5, 10][5,10] 元范围内。

答案：

定义域：[5,15][5, 15][5,15]，值域：[50,150][50, 150][50,150]当价格为 8 元时，销售量是 120 件价格应控制在 [5,10][5, 10][5,10] 元范围内练习 2用配方法求函数 f(x)=−x2+4x−1f(x) = -x^2 + 4x - 1f(x)=−x2+4x−1 的值域。

参考答案 (3 个标签)函数值域 配方法 二次函数解题思路： 对二次函数进行配方，找到顶点，确定最值，从而求出值域。

详细步骤：

将函数配方： f(x)=−x2+4x−1f(x) = -x^2 + 4x - 1f(x)=−x2+4x−1 =−(x2−4x)−1= -(x^2 - 4x) - 1=−(x2−4x)−1 =−(x2−4x+4−4)−1= -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1=−(x2−4x+4−4)−1 =−(x−2)2+4−1= -(x - 2)^2 + 4 - 1=−(x−2)2+4−1 =−(x−2)2+3= -(x - 2)^2 + 3=−(x−2)2+3

分析：

因为 (x−2)2≥0(x - 2)^2 \geq 0(x−2)2≥0，所以 −(x−2)2≤0-(x - 2)^2 \leq 0−(x−2)2≤0因此 f(x)=−(x−2)2+3≤3f(x) = -(x - 2)^2 + 3 \leq 3f(x)=−(x−2)2+3≤3当 x=2x = 2x=2 时，f(x)f(x)f(x) 取得最大值 3当 xxx 趋向于 ±∞\pm\infty±∞ 时，f(x)f(x)f(x) 趋向于 −∞-\infty−∞答案：值域为 (−∞,3](-\infty, 3](−∞,3]

练习 3用换元法求函数 f(x)=2x−1x+3f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}f(x)=x+32x−1​（x≠−3x \neq -3x=−3）的值域。

参考答案 (2 个标签)函数值域 换元法解题思路： 设 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，解出 xxx 关于 yyy 的表达式，然后根据 xxx 的定义域确定 yyy 的范围。

详细步骤：

设 y=2x−1x+3y = \frac{2x - 1}{x + 3}y=x+32x−1​，解关于 xxx 的方程：

y(x+3)=2x−1y(x + 3) = 2x - 1y(x+3)=2x−1 yx+3y=2x−1yx + 3y = 2x - 1yx+3y=2x−1 yx−2x=−1−3yyx - 2x = -1 - 3yyx−2x=−1−3y x(y−2)=−1−3yx(y - 2) = -1 - 3yx(y−2)=−1−3y

当 y≠2y \neq 2y=2 时： x=−1−3yy−2=1+3y2−yx = \frac{-1 - 3y}{y - 2} = \frac{1 + 3y}{2 - y}x=y−2−1−3y​=2−y1+3y​

由于原函数的定义域要求 x≠−3x \neq -3x=−3，所以： 1+3y2−y≠−3\frac{1 + 3y}{2 - y} \neq -32−y1+3y​=−3

解这个不等式：

1+3y≠−3(2−y)1 + 3y \neq -3(2 - y)1+3y=−3(2−y)

1+3y≠−6+3y1 + 3y \neq -6 + 3y1+3y=−6+3y

1≠−61 \neq -61=−6

这个不等式恒成立，所以 yyy 可以取除 2 以外的所有实数。

验证 y=2y = 2y=2 是否可能： 当 y=2y = 2y=2 时，原方程变为 x(2−2)=−1−3×2x(2 - 2) = -1 - 3 \times 2x(2−2)=−1−3×2，即 0=−70 = -70=−7，无解。

答案：值域为 (−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)(−∞,2)∪(2,+∞)

练习 4已知函数的图像如下表所示，请写出该函数的解析式，并求其定义域和值域。

xxx-2-1012yyy41014参考答案 (3 个标签)函数值域 表格法 函数解析式解题思路： 观察表格中 xxx 和 yyy 的对应关系，寻找规律，确定函数的解析式。

详细步骤：

观察数据规律：

当 x=0x = 0x=0 时，y=0y = 0y=0当 x=±1x = \pm 1x=±1 时，y=1y = 1y=1当 x=±2x = \pm 2x=±2 时，y=4y = 4y=4发现 y=x2y = x^2y=x2，验证：

(−2)2=4(-2)^2 = 4(−2)2=4 ✓(−1)2=1(-1)^2 = 1(−1)2=1 ✓02=00^2 = 002=0 ✓12=11^2 = 112=1 ✓22=42^2 = 422=4 ✓根据表格数据：

定义域：{−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\}{−2,−1,0,1,2}值域：{0,1,4}\{0, 1, 4\}{0,1,4}答案：

解析式：f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2定义域：{−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\}{−2,−1,0,1,2}值域：{0,1,4}\{0, 1, 4\}{0,1,4}总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义R(f)R(f)R(f)数学符号R of f函数 fff 的值域RRR数学符号R函数的值域y=f(x)y = f(x)y=f(x)数学公式y equals f of x函数的一般表示形式R\mathbb{R}R数学符号double-struck R（Real numbers）表示实数集[0,+∞)[0, +\infty)[0,+∞)数学符号closed interval from 0 to positive infinity从0到正无穷的闭区间(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞)数学符号infinite interval表示所有实数的区间记号(−∞,1)∪(1,+∞)(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)(−∞,1)∪(1,+∞)数学符号union of intervals两个区间的并集(−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)(−∞,2)∪(2,+∞)数学符号union of intervals两个区间的并集[1,+∞)[1, +\infty)[1,+∞)数学符号closed interval from 1 to positive infinity从1到正无穷的闭区间[1,5][1, 5][1,5]数学符号closed interval包含端点的区间记号[0,2][0, 2][0,2]数学符号closed interval包含端点的区间记号(−∞,3](-\infty, 3](−∞,3]数学符号half-open infinite interval左无穷右闭区间{x∣x≥1,x≠3}\{x \mid x \geq 1, x \neq 3\}{x∣x≥1,x=3}数学符号set notation集合表示法中英对照中文术语英文术语音标说明值域range/reɪndʒ/函数值的取值范围配方法completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/通过配方求二次函数值域的方法换元法substitution method/ˌsʌbstɪˈtjuːʃən ˈmeθəd/通过变量替换求函数值域的方法单调性monotonicity/ˌmɒnəʉtəˈnɪsɪti/函数在某区间内保持递增或递减的性质反函数法inverse function method/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən ˈmeθəd/通过求反函数来确定值域的方法 上一章节 函数的定义域下一章节 函数的性质 学习函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性与极值，掌握分析函数行为的方法。 课程路线图1高等数学之函数探秘

当前课程函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。

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