复合函数

复合函数 定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

复合函数的定义若 y=f(u)y = f(u)y=f(u)，而 u=g(x)u = g(x)u=g(x)，则 y=f[g(x)]y = f[g(x)]y=f[g(x)] 称为由 fff 和 ggg 构成的复合函数，记作 f∘gf \circ gf∘g。

符号说明符号类型读音/说明在本文中的含义f(u)f(u)f(u)数学符号f of u外层函数，以 uuu 为自变量g(x)g(x)g(x)数学符号g of x内层函数，以 xxx 为自变量f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)]数学符号f of g of x复合函数，fff 和 ggg 的复合f∘gf \circ gf∘g数学符号f 圆圈 g复合函数记号，读作”f 复合 g” 性质复合函数具有以下重要性质：

定义域：复合函数的定义域是使得 g(x)g(x)g(x) 有定义且 f(g(x))f(g(x))f(g(x)) 有意义的 x 的集合交换律：复合运算不满足交换律：f∘g≠g∘ff \circ g \neq g \circ ff∘g=g∘f结合律：复合运算满足结合律：(f∘g)∘h=f∘(g∘h)(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)(f∘g)∘h=f∘(g∘h) 例子常见的复合函数例子：

f(x)=sin⁡(x2)f(x) = \sin(x^2)f(x)=sin(x2) 是 f(u)=sin⁡uf(u) = \sin uf(u)=sinu 和 g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=x2 的复合f(x)=exf(x) = e^{\sqrt{x}}f(x)=ex​ 是 f(u)=euf(u) = e^uf(u)=eu 和 g(x)=xg(x) = \sqrt{x}g(x)=x​ 的复合f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1)f(x)=ln(x2+1) 是 f(u)=ln⁡uf(u) = \ln uf(u)=lnu 和 g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1g(x)=x2+1 的复合 求复合函数定义域的方法第一步：求内层函数 g(x)g(x)g(x) 的定义域第二步：求外层函数 f(u)f(u)f(u) 的定义域第三步：求使得 g(x)g(x)g(x) 的值属于 f(u)f(u)f(u) 定义域的 x 的范围 复合函数的求导复合函数的导数可以通过链式法则求得：

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)dxd​[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)

练习题练习 1求复合函数 f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1})f(x)=ln(x2+1​) 的定义域。

参考答案 (4 个标签)复合函数 定义域 对数函数 根式函数解题思路： 需要分别考虑内层函数 x2+1\sqrt{x^2 + 1}x2+1​ 和外层函数 ln⁡u\ln ulnu 的定义域。

详细步骤：

内层函数 x2+1\sqrt{x^2 + 1}x2+1​ 的定义域：x2+1≥0x^2 + 1 \geq 0x2+1≥0，这对所有实数 x 都成立外层函数 ln⁡u\ln ulnu 的定义域：u>0u > 0u>0，即 x2+1>0\sqrt{x^2 + 1} > 0x2+1​>0由于 x2+1≥1>0x^2 + 1 \geq 1 > 0x2+1≥1>0，所以 x2+1>0\sqrt{x^2 + 1} > 0x2+1​>0 对所有实数 x 都成立答案：定义域为 R\mathbb{R}R（全体实数）。

R\mathbb{R}R（双线体 R）：这是数学中的标准符号，表示实数集（Real numbers），即所有实数的集合。双线体（blackboard bold）是数学中专门用来表示数集的字体风格，用于区分集合符号和普通变量。

练习 2求复合函数 f(x)=sin⁡(ln⁡x)f(x) = \sin(\ln x)f(x)=sin(lnx) 的定义域。

参考答案 (4 个标签)复合函数 定义域 三角函数 对数函数解题思路： 需要分别考虑内层函数 ln⁡x\ln xlnx 和外层函数 sin⁡u\sin usinu 的定义域。

详细步骤：

内层函数 ln⁡x\ln xlnx 的定义域：x>0x > 0x>0外层函数 sin⁡u\sin usinu 的定义域：u∈Ru \in \mathbb{R}u∈R，对所有实数都有定义因此复合函数的定义域就是内层函数的定义域答案：定义域为 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞)。

练习 3求复合函数 f(x)=1x−1f(x) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}f(x)=x−11​​ 的定义域。

参考答案 (4 个标签)复合函数 定义域 根式函数 分式函数解题思路： 需要分别考虑内层函数 1x−1\frac{1}{x-1}x−11​ 和外层函数 u\sqrt{u}u​ 的定义域。

详细步骤：

内层函数 1x−1\frac{1}{x-1}x−11​ 的定义域：x≠1x \neq 1x=1外层函数 u\sqrt{u}u​ 的定义域：u≥0u \geq 0u≥0，即 1x−1≥0\frac{1}{x-1} \geq 0x−11​≥0解不等式 1x−1≥0\frac{1}{x-1} \geq 0x−11​≥0：当 x−1>0x-1 > 0x−1>0 时，1x−1>0≥0\frac{1}{x-1} > 0 \geq 0x−11​>0≥0，成立当 x−1<0x-1 < 0x−1<0 时，1x−1<0\frac{1}{x-1} < 0x−11​<0，不成立所以 x−1>0x-1 > 0x−1>0，即 x>1x > 1x>1答案：定义域为 (1,+∞)(1, +\infty)(1,+∞)。

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义f(x)f(x)f(x)数学符号f of x函数记号，表示以 xxx 为自变量的函数f(u)f(u)f(u)数学符号f of u外层函数，以 uuu 为自变量g(x)g(x)g(x)数学符号g of x内层函数，以 xxx 为自变量f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)]数学符号f of g of x复合函数，fff 和 ggg 的复合f∘gf \circ gf∘g数学符号f composed with g复合函数记号f′(x)f'(x)f′(x)数学符号f prime of x函数的一阶导数f′(g(x))f'(g(x))f′(g(x))数学符号f prime of g of x外层函数在内层函数值处的导数R\mathbb{R}R数学符号双线体 R（Real numbers）表示实数集，所有实数的集合(a,+∞)(a, +\infty)(a,+∞)数学符号开区间左开右无穷区间中英对照中文术语英文术语音标说明复合函数composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/由两个或多个函数嵌套组合而成的函数外层函数outer function/ˈaʊtə ˈfʌŋkʃən/复合函数中位于外层的函数内层函数inner function/ˈɪnə ˈfʌŋkʃən/复合函数中位于内层的函数交换律commutative law/kəˈmjuːtətɪv lɔː/运算满足交换的性质结合律associative law/əˈsəʊʃɪətɪv lɔː/运算满足结合的性质链式法则chain rule/tʃeɪn ruːl/复合函数求导的法则嵌套nesting/ˈnestɪŋ/函数的多层组合下一章节 反函数 学习反函数的定义、性质和求法，掌握反函数与原函数的关系。 课程路线图1高等数学之函数探秘

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